Trang Chính
Các kiến thức cơ bản
1. Đường tròn lớn và đường tròn nhỏ
a. Hình cầu là một vật thể giới hạn bởi một mặt bao gồm các điểm có khoảng cách không đổi tới một điểm cố định , gọi là tâm của hình cầu . Đoạn thẳng nối điểm bất kì trên mặt cầu với tâm được gọi là bán kính . Đoạn thẳng đi qua tâm nối 2 điểm bất kì trên mặt cầu gọi là đường kính .
b. Giao tuyến của mặt cầu với một mặt phẳng là một đường tròn .
giả sử AB là giao tuyến của mặt cầu với mặt phẳng nào đó , O là tâm hình cầu . Kẻ OC vuông góc với mặt phẳng ; lấy D thuộc giao tuyến và nối OD , CD . Vì OC vuông góc với mặt phẳng nên góc OCD là góc vuông ; do đó CD = (OD2 – OC2)^(1/2) . Do O và C cố định nên OC là hằng số ; OD cũng là hằng số vì bằng bán kính hình cầu vậy nên CD cũng là hằng số . Như vậy mọi điểm trên giao tuyến đều cách C một khoảng không đổi , tức C là tâm của đường tròn giao tuyến .
c. Giao tuyến của mặt cầu với mặt phẳng được gọi là đường tròn lớn nếu mặt phẳng đó đi qua tâm hình cầu , gọi là đường tròn nhỏ nếu mặt phẳng không đi qua tâm hình cầu . Như vậy bán kính đường tròn lớn bằng với bán kính hình cầu .
d. Trục của một đường tròn là đường kính của hình cầu vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn ; hai điểm đầu của đường kính gọi là các cực của đường tròn . Khoảng cách từ các cực của đường tròn lớn đến mặt phẳng chứa đường tròn là bằng nhau . Các cực của đường tròn nhỏ có khoảng cách khác nhau đến mặt phẳng chứa đường tròn ; chúng được gọi tương ứng là cực gần và xa .
Trên hình vẽ , EAB là một đường tròn lớn , vì mặt phẳng chứa nó đi qua tâm O của hình cầu . Giả sử QOP là đường kính của hình cầu vuông góc với mặt phẳng ( EAB ) . Lấy điểm R tùy ý trên OP , vẽ mặt phẳng qua R và song song với ( EAB ) giao với hình cầu theo đường tròn nhỏ FCD . Các điểm P , Q là các cực của đường tròn lớn EAB và đường tròn nhỏ FCD .
Giả sử PCAQ là đường tròn lớn đi qua các cực P , Q và cắt FCD , EAB lần lượt tại C và A ; PDB là một cung của đường tròn lớn khác đi qua P , Q . Khi đó ta nói tại P có 1 góc cầu và được xác định theo cách sau : Vẽ tiếp tuyến PS , PT tương ứng với các cung PA , PB ; hiển nhiên PT song song với OB , PS song song với OA . Góc SPT gọi là góc cầu tại P tạo bởi 2 cung đường tròn lớn PA , PB và nó bằng với góc AOB .
e. Khoảng cách từ các điểm trên đường tròn đến cực của nó luôn bằng nhau . Giả sử O là tâm của hình cầu , AB là đường tròn bất kì , C là tâm , P và P’ là các cực của đường tròn . Lấy D thuộc đường tròn ; nối CD , OD , PD . Khi đó PD = (PC*PC CD*CD)^(1/2) ; PC và Cd không đỏi do đó PD cũng không đổi . Giả sử có đường tròn lớn qua P và D thì dây cung PD không đổi , tức là cung của đường tròn lớn nằm giữa P và D là hằng số khi D chạy trên đường tròn AB .
[B]f. Cung của đường tròn lớn tính từ cực tới bất kì điểm nào trên đường tròn bằng 90
1. Đường tròn lớn và đường tròn nhỏ
a. Hình cầu là một vật thể giới hạn bởi một mặt bao gồm các điểm có khoảng cách không đổi tới một điểm cố định , gọi là tâm của hình cầu . Đoạn thẳng nối điểm bất kì trên mặt cầu với tâm được gọi là bán kính . Đoạn thẳng đi qua tâm nối 2 điểm bất kì trên mặt cầu gọi là đường kính .
b. Giao tuyến của mặt cầu với một mặt phẳng là một đường tròn .
giả sử AB là giao tuyến của mặt cầu với mặt phẳng nào đó , O là tâm hình cầu . Kẻ OC vuông góc với mặt phẳng ; lấy D thuộc giao tuyến và nối OD , CD . Vì OC vuông góc với mặt phẳng nên góc OCD là góc vuông ; do đó CD = (OD2 – OC2)^(1/2) . Do O và C cố định nên OC là hằng số ; OD cũng là hằng số vì bằng bán kính hình cầu vậy nên CD cũng là hằng số . Như vậy mọi điểm trên giao tuyến đều cách C một khoảng không đổi , tức C là tâm của đường tròn giao tuyến .
c. Giao tuyến của mặt cầu với mặt phẳng được gọi là đường tròn lớn nếu mặt phẳng đó đi qua tâm hình cầu , gọi là đường tròn nhỏ nếu mặt phẳng không đi qua tâm hình cầu . Như vậy bán kính đường tròn lớn bằng với bán kính hình cầu .
d. Trục của một đường tròn là đường kính của hình cầu vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn ; hai điểm đầu của đường kính gọi là các cực của đường tròn . Khoảng cách từ các cực của đường tròn lớn đến mặt phẳng chứa đường tròn là bằng nhau . Các cực của đường tròn nhỏ có khoảng cách khác nhau đến mặt phẳng chứa đường tròn ; chúng được gọi tương ứng là cực gần và xa .
Trên hình vẽ , EAB là một đường tròn lớn , vì mặt phẳng chứa nó đi qua tâm O của hình cầu . Giả sử QOP là đường kính của hình cầu vuông góc với mặt phẳng ( EAB ) . Lấy điểm R tùy ý trên OP , vẽ mặt phẳng qua R và song song với ( EAB ) giao với hình cầu theo đường tròn nhỏ FCD . Các điểm P , Q là các cực của đường tròn lớn EAB và đường tròn nhỏ FCD .
Giả sử PCAQ là đường tròn lớn đi qua các cực P , Q và cắt FCD , EAB lần lượt tại C và A ; PDB là một cung của đường tròn lớn khác đi qua P , Q . Khi đó ta nói tại P có 1 góc cầu và được xác định theo cách sau : Vẽ tiếp tuyến PS , PT tương ứng với các cung PA , PB ; hiển nhiên PT song song với OB , PS song song với OA . Góc SPT gọi là góc cầu tại P tạo bởi 2 cung đường tròn lớn PA , PB và nó bằng với góc AOB .
e. Khoảng cách từ các điểm trên đường tròn đến cực của nó luôn bằng nhau . Giả sử O là tâm của hình cầu , AB là đường tròn bất kì , C là tâm , P và P’ là các cực của đường tròn . Lấy D thuộc đường tròn ; nối CD , OD , PD . Khi đó PD = (PC*PC CD*CD)^(1/2) ; PC và Cd không đỏi do đó PD cũng không đổi . Giả sử có đường tròn lớn qua P và D thì dây cung PD không đổi , tức là cung của đường tròn lớn nằm giữa P và D là hằng số khi D chạy trên đường tròn AB .
[B]f. Cung của đường tròn lớn tính từ cực tới bất kì điểm nào trên đường tròn bằng 90
